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微分幾何

課程名稱：微分幾何

上課班級：應數系三年級

授課教師：

學 分 數：3

□必修  ■選修

先修科目：微積分、線性代數

上課時數：3

一、教學目標：%

介紹從高斯的觀點下所得到的一些重要的曲線與曲面的理論與應用。

二、教學方式及評量方式：

教學方法：!

教學方式主要是教師課堂上講解，輔以電腦秀出幾何圖形與結果。

評量方式：C

1.作業：以課本後習題為主，加上一些參考書目中重要的題目。

2.測驗：分為：隨堂測驗、期中與期末考三種。

三、教學內容及進度：&

週別

內容

1-1

複習一些微積分定理：如：隱函數，反函數定理，多變數函數微分與積分等技巧

1-2

複習線性代數性質：如：內積，外積及其幾何意義；self-adjoint 等性質。

2-1

介紹曲線理論：Definition of regular curve, arc length 等

2-2

介紹曲線理論：Local theory of curve parametrized by arc length

3

介紹曲線理論：local canonical form

4

介紹曲線理論：Global properties of plane curve ( four vertices theorem, isoperimetric inequality … )

5

介紹曲面的定義與例子。

6

介紹曲面上的微分與切平面的定義與實際例子

7

介紹 First fundamental form 及其幾何意義

8

介紹與 First fundamental form 相關的幾何性質 ( Area, isometry, conformal … )

9

期中考

10

介紹 曲面法向量，Gauss map 與其計算

11

介紹 Gauss map 的微分計算與例子

12

介紹 Second fundamental form, normal curvature 與其計算

13

探討 Second fundamental form 的幾何意義與 曲面上的曲率

14

探討在局部坐標系下的計算 ( first fundamental form , second fundamental form 與各種曲率… )

15

介紹 intrinsic geometry : parallel transport , geodesic

16

深入探討 geodesic 的性質

17

介紹 Gauss-Bonnet 定理與其應用

18

期末考

四、參考書

教科書：Elementary Differential Geometry, Andrew Pressley。

參考書：

1. Differential Geometry of Curves and Surfaces, do Carmo 。

2. Differential geometry vol 2. Spivak.。